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Grundlagen der Mathematik



Zwischen 1870 und 1930 entwickelte sich mit den Versuchen, Mathematik axiomatisch aufzubauen und somit auf ein solides Fundament zu stellen, die Notwendigkeit, Begriffe wie Schlussfolgerung, Menge, Zahl etc. sauber zu definieren. Dies war nicht einfach, da das seit der Zeit der Griechen bekannte Paradox des Epimenides--ein Kreter, der behauptet, kein Kreter sage die Wahrheit--in verschieden Verkleidungen auftrat. Als klassisch kann dabei das Russellsche Paradox bezeichnet werden.


Nachdem diese Aufgabe gelöst war, stellte sich die Frage, wie man es erreichen könnte, alle Probleme mathematisch zu beschreiben und innerhalb der Mathematik zu einer zufriedenstellenden Lösung zu bringen. Dies ist als das "Hilbertsche Programm" in die Geschichte eingegangen und wurde in den 1930er Jahren von Gödels Untersuchungen als undurchführbar erkannt. Und wieder spielt dabei Epimenides eine Rolle. Trotz der Undurchführbarkeit des Hilbertschen Programmes, hatten die zugehörigen Untersuchen einen fundamentalen Einfluss auf die Entwicklung der Rechentechnik und die uns allgegenwärtigen Computer.


In der Vorlesung werden folgende Fragestellungen studiert: Was ist die Sprache der Mathematik? Was sind die Objekte der Mathematik? und Was sind die Grenzen der Mathematik? Im wesentlichen wird also die vom späten 19. Jh bis ins frühe 20. Jh andauernde Grundlagenkrise der Mathematik diskutiert. Der Inhalt der Vorlesung reicht von Gödels Vollständigkeitssatz über das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem der Mengenlehre bis zur Rekursionstheorie und den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen mit einem Abschnitt über den Aufbau der uns bekannten Zahlensysteme.

Die Vorlesung "Grundlagen der Mathematik" richtet sich an Mathematik Lehramtstudenten und interessierte Studenten der Informatik und Mathematik. Grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Mengen, natürlichen Zahlen und Logik sind erwünscht.



Literatur



  • Douglas Hofstadter. Gödel, Escher, Bach, ein Endloses Geflochtenes Band. Klett-Cotta.
  • Rene Cori, Daniel Lascar. Mathematical Logic: A Course with Exercises I & II. Oxford University Press, USA.
  • Piergiorgio Odifreddi. Classical Recursion Theory. North-Holland.
  • Uwe Schöning. Logik für Informatiker. Spektrum.
  • Uwe Schöning. Theoretische Informatik -- kurzgefasst. Spektrum.
  • Jedes Buch in der Bibliothek, das sich mit mathematischer Logik, axiomatischer Mengenlehre und Rekursionstheorie befasst.

Bitte melden Sie sich im CAJ für die Vorlesung und Übung an.